リムナンテスは愉快な気分

徒然なるままに、言語、数学、音楽、プログラミング、時々人生についての記事を書きます

五胞体のホモロジー群を計算する

五胞体
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五胞体(4単体)の境界のホモロジー群を計算(結果は分かり切ってはいますがね)

五胞体の各頂点を適当に0、1、2、3、4と名前を付ける。
4単体 |01234| の境界 S^3=|0123|\cup|0124|\cup|0134|\cup|0234|\cup|1234|ホモロジー群を計算


k単体の正の向きを \langle i_0 \cdots i_k \rangle  (i_0 < \cdots < i_k) とすると


k単体の集合
S^3_0 = \{\langle 0 \rangle, \langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \langle 3 \rangle, \langle 4 \rangle \}
S^3_1 = \{\langle 01 \rangle, \langle 02 \rangle, \langle 03 \rangle, \langle 04 \rangle, \langle 12 \rangle, \langle 13 \rangle, \langle 14 \rangle, \langle 23 \rangle, \langle 24 \rangle, \langle 34 \rangle \}
S^3_2 = \{\langle 012 \rangle, \langle 013 \rangle, \langle 014 \rangle, \langle 023 \rangle, \langle 024 \rangle, \langle 034 \rangle, \langle 123 \rangle, \langle 124 \rangle, \langle 134 \rangle, \langle 234 \rangle \}
S^3_3 = \{\langle 0123 \rangle, \langle 0124 \rangle, \langle 0134 \rangle, \langle 0234 \rangle, \langle 1234 \rangle \}


鎖群
C_0(S^3) = \mathbb{Z}\langle S^3_0 \rangle = \mathbb{Z}\langle 0 \rangle + \mathbb{Z}\langle 1 \rangle + \mathbb{Z}\langle 2 \rangle + \mathbb{Z}\langle 3 \rangle + \mathbb{Z}\langle 4 \rangle
C_1(S^3) = \mathbb{Z}\langle S^3_1 \rangle = \mathbb{Z}\langle 01 \rangle + \mathbb{Z}\langle 02 \rangle + \mathbb{Z}\langle 03 \rangle + \mathbb{Z}\langle 04 \rangle + \mathbb{Z}\langle 12 \rangle + \mathbb{Z}\langle 13 \rangle + \mathbb{Z}\langle 14 \rangle + \mathbb{Z}\langle 23 \rangle + \mathbb{Z}\langle 24 \rangle + \mathbb{Z}\langle 34 \rangle
C_2(S^3) = \mathbb{Z}\langle S^3_2 \rangle = \mathbb{Z}\langle 012 \rangle + \mathbb{Z}\langle 013 \rangle + \mathbb{Z}\langle 014 \rangle + \mathbb{Z}\langle 023 \rangle + \mathbb{Z}\langle 024 \rangle + \mathbb{Z}\langle 034 \rangle + \mathbb{Z}\langle 123 \rangle + \mathbb{Z}\langle 124 \rangle + \mathbb{Z}\langle 134 \rangle + \mathbb{Z}\langle 234 \rangle
C_3(S^3) = \mathbb{Z}\langle S^3_3 \rangle = \mathbb{Z}\langle 0123 \rangle + \mathbb{Z}\langle 0124 \rangle + \mathbb{Z}\langle 0134 \rangle + \mathbb{Z}\langle 0234 \rangle + \mathbb{Z}\langle 1234 \rangle


境界作用素
\partial_3:C_3(S^3) \to C_2(S^3)
\partial_2:C_2(S^3) \to C_1(S^3)
\partial_1:C_1(S^3) \to C_0(S^3)
\partial_1(\langle 01 \rangle \langle 02 \rangle \langle 03 \rangle \langle 04 \rangle \langle 12 \rangle \langle 13 \rangle \langle 14 \rangle \langle 23 \rangle \langle 24 \rangle \langle 34 \rangle) = (\langle 0 \rangle \langle 1 \rangle \langle 2 \rangle \langle 3 \rangle \langle 4 \rangle)A_1
A_1 = \left(
    \begin{array}{rrr}
      -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
      1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\
      0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
      0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1
    \end{array}
  \right)