ユークリッド整域【環論・体論】 - リムナンテスは愉快な気分

前回の単項イデアル整域に引き続き、ユークリッド整域について見ていきます。ユークリッド整域とは雑に言うと「ユークリッドの互除法」が適用できる世界のことです。

ユークリッド整域
ユークリッド整域の例
- 整数環
- 体を係数とする多項式環
ユークリッド整域ではない例
- 整数係数多項式
ユークリッド整域ではないが単項イデアル整域である例

ユークリッド整域

有理整数環 $\mathbb{Z}$ では余りのある割り算、剰余つき除法が定義できます。では、 $\mathbb{Z}$ 以外の環において、剰余つき除法が行える条件はどのようなものか。

def

整域 $R$ に対して関数 $d:R\backslash\{0\}\to\mathbb{N}\cup\{0\}$ が定義でき、次の条件を満たすとき $R$ はユークリッド整域である

$\forall a,b\in R\backslash\{0\}$ に対して
\begin{align}
a=bq + r \quad (r=0 または d(r)\lt d(b))
\end{align}となる $q,r\in R$ が存在する。

一般の環では、各元同士に順序があるとは限りません。
そこで、定義域が $d:R\backslash\{0\}$ 、値域がゼロ以上の整数 $\mathbb{N}\cup\{0\}$ の関数 $d:R\backslash\{0\}\to\mathbb{N}\cup\{0\}$ を噛ませることで、余りの大きさが比較できるようになるんですね。
この関数 $d$ のことをノルムと呼びます。零元からの距離のようなものです。

ユークリッド整域の例

整数環 $\mathbb{Z}$

$m\in\mathbb{Z}$ に対して $d(m)=|m|$ とおけば $\mathbb{Z}$ がユークリッド整域であることがわかります。

体 $K$ を係数とする多項式環 $K[x]$

例えば、 $\mathbb{Q}[x],\mathbb{R}[x],\mathbb{C}[x],\mathbb{F_p}[x]$ はユークリッド整域です。
（ $\mathbb{Q}$ : 有理数、 $\mathbb{R}$ : 実数、 $\mathbb{C}$ : 複素数、 $\mathbb{F_p}$ : 有限体 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ （ $p$ は素数））

【証明】

$\forall f(x) \in K[x]\backslash\{0\}$ に対してノルム $d$ を
\begin{align}
d(f(x)) = \deg f(x)
\end{align}と定義する（ $\deg f(x)$ は多項式 $f(x)$ の次数）。

$K[x]$ がユークリッド整域ならば、 $\forall f(x),g(x)\in K[x]\backslash\{0\}$ に対して
\begin{align}
f(x)=g(x)q(x) + r(x) \quad (r(x)=0 または \deg r(x))\lt \deg b(x))
\end{align}となる $q(x),r(x)\in K[x]$ が存在するはずなので、これを示す。

ここで、 $\deg f(x)=m, \deg g(x)=n$ とする。 $m\lt n$ のとき、
\begin{align}
f(x)=g(x)\cdot 0 + f(x)
\end{align}であるから、 $q(x)=0, r(x)=r$ とすれば成立。

$m\geq n$ のとき、 $a,b\neq 0$ として $f(x),g(x)$ はそれぞれ
\begin{align}
f(x)=ax^m+\cdots \\
g(x)=bx^n+\cdots
\end{align}と書けるので、
\begin{align}
\deg (f(x)-ab^{-1}x^{m-n}g(x))=l \leq m-{1}
\end{align}つまり
\begin{align}
f(x)-ab^{-1}x^{m-n}g(x)=cx^l+\cdots
\end{align}と書けるので、 $l\geq n$ ならば
\begin{align}
\deg (f(x)-(ab^{-1}x^{m-n}+cb^{-1}x^{l-n})g(x)) \leq l-{1}
\end{align}これを繰り返すことで
\begin{align}
f(x)-g(x)q(x)=r(x), \quad \deg r(x)\lt n=\deg g(x)
\end{align}となる $q(x),r(x)\in K[x]$ が取れる。

ユークリッド整域ではない例

整数係数多項式 $\mathbb{Z}[x]$

$\mathbb{Z}$ は体ではないので乗法逆元が存在しません。そのため、上の証明方法では $f(x)-ab^{-1}x^{m-n}g(x)$ をとることができません。

実際 $\mathbb{Z}[x]$ はユークリッド整域ではないのですが、証明するためには「単項イデアル整域でないならユークリッド整域ではない」であるという性質を使います。
単項イデアル整域の記事で $\mathbb{Z}[x]$ が単項イデアル整域でないことは示したので、ユークリッド整域ではないことがわかります。

ユークリッド整域と単項イデアル整域の間には、ユークリッド整域 $\subset$ 単項イデアル整域の関係があります。つまり、ユークリッド整域であれば必ず単項イデアル整域です。
「ユークリッド整域は単項イデアル整域である」の対偶をとると、「単項イデアル整域でないならユークリッド整域ではない」が導けるため、先ほどの議論が成立します。

ということで、次の定理を証明します。

prop

ユークリッド整域は単項イデアル整域である

【証明】

ユークリッド整域 $R$ の任意のイデアルを $I$ とする。
定義より $d$ の値域 $\{d(x)\mid x\in I\backslash\{0\}\}$ において最小値 $m_0$ をとるようなイデアル $I$ の元 $x_0\in I$ が存在する。したがって $(x_0)\in I$ 。

また、 $\forall a\in I$ に対して
\begin{align}
a=x_0 q + r \quad (r=0 または d(r)\lt d(x\_0)=m\_0)
\end{align}を満たす $q,r\in R$ が存在する。
このとき $r=a-x_0 q\in I$ から $d(x_0)=m_0$ の最小性より $r=0$ 、つまり $a=x_0 q\in (x_0)$ なので $I\subset (x_0)$ 。