素イデアル【環論・体論】 - リムナンテスは愉快な気分

整数環 $\mathbb{Z}$ において、素数はその性質から非常に重要な役割を担っています。

例えば次のような性質。
\begin{align}
p|mn \Rightarrow p|m または p|n
\end{align}（ $p$ が $mn$ の約数のとき、 $p$ は $m$ の約数または $n$ の約数）
\begin{align}
\Leftrightarrow p\nmid m かつ p\nmid n \Rightarrow p\nmid mn
\end{align}（ $m$ も $n$ も $p$ で割り切れないなら、 $mn$ も $p$ で割り切れない）

イデアルとしては「素数の倍数からなるイデアル」というものが重要になってくる。つまり整数環だと $(p)=p\mathbb{Z}$
イデアルを使って表現すると、
\begin{align}
mn\in p\mathbb{Z} \Rightarrow m\in p\mathbb{Z} または n\in p\mathbb{Z} \\
\Leftrightarrow m\notin p\mathbb{Z} かつ n\notin p\mathbb{Z} \Rightarrow mn \notin p\mathbb{Z}
\end{align}これを一般の可換環で考える。

素イデアルの定義
素イデアルに関する例
- 例1. 整数環
- 例2. 一変数多項式環
素イデアルと整域

素イデアルの定義

def

可換環 $R$ のイデアル $P$ が次の条件

$P\subsetneq R$
$x,y\in R$ に対し

\begin{align}
xy\in P \Rightarrow x\in P または y\in P \\
\Leftrightarrow x\notin P かつ y\notin P \Rightarrow xy\notin P
\end{align}を満たすとき、 $P$ を $R$ の素イデアルという。

$R$ の元 $x,y$ の積 $xy$ が $P$ の元なら、 $x$ か $y$ のどちらかは素イデアル $P$ の元ということ。

素イデアルに関する例

例1. 整数環 $\mathbb{Z}$

$\mathbb{Z}$ の素イデアルは $(0)$ または $(p)$ （ $p$ は素数）となります。

例2. 一変数多項式環 $F[x]$

体 $F$ を係数とする一変数多項式環 $F[x]$ では、1次式で生成されるイデアル $(x-a)$ が素イデアルになります。

【証明】
体 $F$ の元 $a\in F$ に対して $(x-a)$ が素イデアルになることを示します。

(1.)
例えば、 $1\notin (x-a)$ なので $(x-a)\neq F[x]$ 。したがって $(x-a)\subsetneq F[x]$ 。

(2.)
$f(x),g(x)\in F[x]$ に対し、
\begin{align}
f(x)g(x)\in (x-a) \Rightarrow \color{red}{f(x)\in (x-a)} または \color{red}{g(x)\in (x-a)}
\end{align}であることを示します。

$f(x)g(x)\in (x-a)$ のとき、 $f(x)g(x)=(x-a)h(x)$ と表現できます。 $x-a$ の $h(x)\in F[x]$ 倍なので。
なので、 $x=a$ とすると $f(a)g(a)=0$ 。
$F$ は体なので整域。整域は0でない零因子を持たないので $f(a)=0$ または $g(a)=0$ 。

そのため、 $f(x),g(x)$ をそれぞれ
\begin{align}
f(x)=c_0+c_1(x-a)+\cdots+c_m(x-a)^m \\
g(x)=d_0+d_1(x-a)+\cdots+d_n(x-a)^n
\end{align}と表したとき、 $f(a)=c_0=0$ または $g(a)=d_0=0$ であることを意味します。