リムナンテスは愉快な気分

徒然なるままに、言語、数学、音楽、プログラミング、時々人生についての記事を書きます

☆数学

三角関数不要論者に三角関数を教えるのは時間の無駄

巷で話題の三角関数。三角関数が役に立つことは言うまでもなく、 例えば以下の記事にあるように、測量、回転、波動を理解したり計算したりと広範囲に応用できます。qiita.comこれを教えて「そういうことだったのか!」となる人は見込みある。 「使わない」だ…

全微分を図形的に理解する

※数学的な厳密性はあんまり考えていません 全微分のお気持ち 全微分とは? を みたいな関数とします。つまり、 とします。このとき、 の全微分 は と表す。 …で、この ってなんぞや、となるわけですよ。ちゃんと説明してくれないと。いや大学教授も説明して…

自由加群【環上の加群 5】

環の時にもPIDだのUFDのEDだのクラスがたくさんありました。 加群にもその特性によって様々なクラスがあります。今回は最も基本的なクラスである自由加群について。 自由加群とは、基底を持つ加群のことである。 基底 自由加群 自由加群の例 自由加群でない…

直積と直和【環上の加群 4】

イスクイル飽きたので数学。一次独立やらなんやらの前提。 加群と加群を合成して大きい加群をつくったり、複雑な加群を小さい加群の直積や直和の形に分解する。 直積 外部直和 内部直和 直積 def 4.1:可換環。2つの-加群に対して直積集合上に和とスカラー倍…

準同型定理(第一同型定理)【環上の加群 3】

加群にも群、環、体と同様に準同型、準同型定理があります。なので以降の議論は加群のみならず群や環と同等かと思われます。 群や環のときにも準同型については学んだと思いますが、改めて加群verの準同型定理(の復習)を見ていきましょう。 準同型 準同型…

部分加群・有限生成【環上の加群 2】

加群というやつにもいろいろあり 剰余加群 有限生成加群 巡回加群 自由加群 ネーター加群 などがあります。この先は様々な加群の性質を見ていこう、ということで、環上の加群第2回では部分加群、剰余加群、有限生成加群について説明します。 部分加群の定義 …

加群の定義【環上の加群 1】

4ヶ月ぶりに加群やろうとしたらわからなくなりました。忘れました。 ノート見ても何もわかりません。というわけで、頭空っぽでもわかるような記事にしていきたい。 (群とか環とかくらいだとその辺にわかりやすい記事がたくさんあるのですが、流石に加群まで…

クラインの4元群【群論】

中国語飽きたので数学。 def 9.1で表されるをクラインの4元群という。 prop 9.2クラインの4元群は、4次対象群の正規部分群である。即ち の任意の元を持ってきて であることを示せばよい。このことを示すために、任意の互換、に対して が成立することを利用す…

素イデアル【環論・体論】

整数環 において、素数はその性質から非常に重要な役割を担っています。例えば次のような性質。 \begin{align} p|mn \Rightarrow p|m または p|n \end{align}( が の約数のとき、 は の約数または の約数) \begin{align} \Leftrightarrow p\nmid m かつ p\…

極大イデアル【環論・体論】

整数環 において素数は重要な役割を担っており、環論の世界ではイデアル は素イデアル、極大イデアルという性質を持っているのでした。一般に、 が素イデアル が整域 が極大イデアル が体 という関係があります。今回は極大イデアルについて。 極大イデアル…

ユークリッド整域【環論・体論】

前回の単項イデアル整域に引き続き、ユークリッド整域について見ていきます。ユークリッド整域とは雑に言うと「ユークリッドの互除法」が適用できる世界のことです。 ユークリッド整域 ユークリッド整域の例 整数環 体 を係数とする多項式環 ユークリッド整…

単項イデアル整域【環論・体論】

単項イデアル整域(PID)の定義と例について見ていきます。 復習 イデアル 整域 単項イデアル整域 単項イデアル整域の例 整数環 体 を係数とする1変数多項式環 ] 単項イデアル整域ではない例 係数の多項式環 ] 体 を係数とする2変数多項式環 ] 復習 その前に…

五胞体のホモロジー群を計算する

五胞体 五胞体(4単体)の境界のホモロジー群を計算(結果は分かり切ってはいますがね)五胞体の各頂点を適当に0、1、2、3、4と名前を付ける。 4単体 の境界 のホモロジー群を計算 k単体の正の向きを とすると k単体の集合 鎖群 境界作用素

数学系統図(未完)

「この分野を学ぶには、この前提知識が必要」とか、 「これ学ぶとこんな分野が理解できる」みたいな表なり系統図なりって なかなか無くて困ってるので、自分で作ってしまおうというやつです。 ただ、自分自身が数学そんなにわかってるわけではないので、 学…