クラインの4元群【群論】 - リムナンテスは愉快な気分

中国語飽きたので数学。

def 9.1 $V=\{e, (1~2)(3~4), (1~3)(2~4), (1~4)(2~3)\}$ で表される $V$ をクラインの4元群という。

prop 9.2クラインの4元群は、4次対象群の正規部分群である。即ち
$V \lhd A_4$

$A_4$ の任意の元 $\rho$ を持ってきて

$\rho V \rho^{-1} \in V$
であることを示せばよい。

このことを示すために、任意の互換 $(i~j)$ 、 $\forall \rho \in A_4$ に対して

$\rho (i~j) \rho^{-1}=(\rho(i)~\rho(j))$
が成立することを利用する。
あんまりイメージつかない気がするので、なんか適当な偶置換とその逆写像 $\rho, \rho^{-1}$ と互換 $(2~4)$ を考えましょう。

$(1~2~3~4)$ を置換してみます。置換の積は右側から作用させます。 $\rho^{-1}, (2~4), \rho$ の順に置換を実行すると、 $\rho (2~4) \rho^{-1}$ は $(\rho(2)~\rho(4))=(1~4)$ に一致します。

一般の互換 $(i~j)$ に対してはこうなります。

置換 $\rho^{-1}$ を作用させた後の元（2段目）を $i,j,k,l$ とすると、作用前の元は $\rho(i),\rho(j),\rho(k),\rho(l)$ と表せます。このうち、 $\rho(k),\rho(l)$ は互換 $(i~j)$ の影響を受けないので、

$\begin{align}\rho (i~j) \rho^{-1}(\rho(k))&=\rho(k) \\ \rho (i~j) \rho^{-1}(\rho(l))&=\rho(l)\end{align}$
$\rho(i),\rho(j)$ は2段目→3段目で $i,j$ が入れ替わるため、両者は入れ替わります。
$\begin{align}\rho (i~j) \rho^{-1}(\rho(i))&=\rho(j) \\ \rho (i~j) \rho^{-1}(\rho(j))&=\rho(i) \end{align}$
というわけで、結局のところ $\rho (i~j) \rho^{-1}$ は互換 $(\rho(i)~\rho(j))$ と等しくなります。

【証明】
$\forall \rho \in A_4$ に対し、
$\rho (i~j) \rho^{-1}=(\rho(i)~\rho(j))$ となる。

ここで、 $\{a,b,c,d\}=\{1,2,3,4\}$ とすると、 $e$ 以外の $V$ の元は $(a~b)(c~d)$ の形に書ける。
よって上の事実を適用すると、

$\begin{align} \rho (a~b)(c~d) \rho^{-1} &= \rho(a~b)\rho^{-1}\rho(c~d)\rho^{-1} \\ &=(\rho(a)~\rho(b))(\rho(c)~\rho(d)) \end{align}$
かつ $\rho$ が全単射なので、
$\{\rho(a),\rho(b),\rho(c),\rho(d)\}=\{a,b,c,d\}=\{1,2,3,4\}$
なので、
$\rho (a~b)(c~d)\rho^{-1}=(\rho(a)~\rho(b))(\rho(c)~\rho(d))\in V$
となる。また、
$\rho e \rho^{-1} \in V$
なので、 $\rho V \rho^{-1} \in V$ となるので $V \lhd A_4$