部分加群・有限生成【環上の加群 2】 - リムナンテスは愉快な気分

加群というやつにもいろいろあり

剰余加群
有限生成加群
巡回加群
自由加群
ネーター加群

などがあります。この先は様々な加群の性質を見ていこう、ということで、環上の加群第2回では部分加群、剰余加群、有限生成加群について説明します。

部分加群の定義
- 例
剰余加群
部分加群の性質
有限生成
- 例

部分加群の定義

部分群の時と同じように部分加群を定義します。

def 2.1 $M$ を左 $R$ -加群、 $N\prec M$ を部分（加法）群とする。
$N$ が $M$ のスカラー積に関して閉じている、すなわち
$aN\subset N$ 　 $a\in R$
となるとき、 $N$ を $M$ の $R$ -部分加群という。

つまり、集合として $M$ の部分集合 $N$ を取ってきたときに、(1) $N$ が部分加法群であり、(2) 環 $R$ の元を掛けても $N$ に入っていれば $N$ は部分加群であるといえます。

というわけで次の定理が成り立ちます。

prop 2.2 $M$ が左 $R$ -加群のとき、 $N\subset M$ が部分加群 $\Leftrightarrow\begin{cases}(1) & \forall x, y \in N \Rightarrow x+y\in N \\ (2) & \forall a\in R, \forall x\in N \Rightarrow ax\in N \end{cases}$

これは（実質的に）加群の定義と見なせます。

部分群の定義から考えると厳密には $-x\in N$ も入れる必要がありそうですが、(2)を満たすとき $x\in M$ より加群 $M$ 上の演算としてdef 1.1 (3)とprop 1.2 (2)から $-1\in R$ とのスカラー積を考えると $(-1)x=-(1x)=-x\in N$ が言えるため、これは(2)に含まれます。
（可換環 $R$ は加法に関して群であるので、乗法単位元 $1$ の加法逆元 $-1$ が $R$ の元）

例

イデアル $I\subset R$ は $R$ -部分加群でもあります。

剰余加群

イデアルの話が出たので、ついでに剰余加群の話もしておきます。
剰余加群はイデアルの拡張にもなっていますが、剰余群のときと同様に同値関係から考えます。

def 2.3 $R$ -加群 $M$ の $R$ -部分加群 $N$ に対して、 $x\sim y$ を $x-y\in N$ （同値関係）で定義する。
$M/N$ に対して
(1)　 $\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}$
(2)　 $a\overline{x}=\overline{ax}$
と定義すると $R$ -加群となる。
これを $M$ の $N$ による $R$ -剰余加群という。

部分加群の性質

環 $R$ 上の加群 $M$ について考えます。また、 $N_1, N_2$ が $M$ の部分加群であるとします。ここで、

共通部分： $N_1\cap N_2 = \{x \mid x\in N_1\cap x\in N_2\}$
和： $N_1+N_2 = \{x_1+x_2\mid x_1\in N_1, x_2\in N_2\}$

とすると、（集合として）下のような図で表すことができます。

このとき、 $N_1\cap N_2$ 、 $N_1+N_2$ も部分加群です。これは複数個（多分共通部分は無限個、和は有限個）あっても同様に部分加群になります（prop2.4, 2.5）。

prop 2.4 $\{N_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ を加群 $M$ の部分加群の族とすると、 $\bigcap N_\lambda$ も $M$ の部分加群。

2つの部分加群について考えると、
$x,y\in N_1\cap N_2$ とすれば $x+y\in N_1$ かつ $x+y\in N_2$ なので $x+y\in N_1\cap N_2$ 。
$a\in R$ のとき $x$ は部分加群 $N_1$ の元なので $ax\in N_1$ 。また $N_2$ の元でもあるので $ax\in N_2$ 。なので $ax\in N_1\cap N_2$ 。
これを帰納的に適用すればprop 2.4が示せます。

prop 2.5部分加群 $N_i\prec M$ に対して、 $N_1+N_2+\cdots+N_r=\{x_1+x_2+\cdots+x_r\mid x_i\in N_i\}$ は $M$ の部分加群。

同じように2つの部分加群について考えると、
$x_1,y_1\in N_1, x_2,y_2\in N_2$ とすると $x_1+x_2, y_1+y_2\in N_1+N_2$ であり、 $x_1+y_1\in N_1, x_2+y_2\in N_2$ から $(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)\in N_1+N_2$ 。
また、 $ax_1\in N_1, ax_2\in N_2$ なので $a(x_1+x_2)=ax_1+ax_2\in N_1+N_2$ 。
これを帰納的に適用すればprop 2.5が示せます。

有限生成

加群の生成について。

def 2.6 $S\subset M$ とする。
$\langle S \rangle:=S$ を含む最小の $M$ の部分加群
を $S$ で生成される $M$ の部分加群という。

とりあえず包含関係はこうです。 $S$ ではなくて $\langle S \rangle$ が部分加群。

具体的な生成方法はprop 2.7。
群の生成の場合は、部分集合 $S$ の元とそれらの逆元の有限積の集合が部分群となるのでした。しかし加群の場合は環 $R$ の積とのスカラー倍に関しても演算が閉じている必要があるため、結局 $\langle S \rangle$ は

$a_1x_1+\cdots+a_nx_n$
のようになります。

これはイデアルの生成と同様です（イデアルは加群なのでそれはそう）。

prop 2.7 $\{N_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $S$ を含む $M$ の部分加群全体とすると、
$\langle S \rangle = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}N_\lambda = \{a_1x_1+\cdots+a_nx_n\mid a_i\in R,x_i\in S\subset N_i\}$
と表すことができる。

ベクトル空間の1次結合みたいなやつ。

特に環 $R$ 上で $S$ で生成することを明記する場合は $\langle S \rangle_R$ と書きます。

def 2.8 $M=\langle S \rangle_R$ のとき、 $S$ を $M$ の生成系（あるいは、 $M$ は $S$ で生成される）という。
$S$ が有限で $|S|<\infty$ のとき、 $M$ は有限生成であるという。

加群の場合は有限生成だからといって1次独立とは限りません（つまり基底がない場合がある）。
ベクトル空間の場合は $a_1x_1+\cdots+a_nx_n=0$ のとき $a_n\neq 0$ なら $x_n=-\frac{1}{a_n}a_1x_1+\cdots+a_{n-1}x_{n-1}\in \langle x_1,\cdots,x_{n-1}\rangle$ とできましたが、これは $a_n$ が体の元のため乗法逆元が取れるのでした。
環の場合は乗法逆元が取れないので、上のような式変形はできません。なので、基底でなくても加群が生成できます。